چرا میانگین هندسی؟!

بارها در گزارش‌های متعددی دیده‌ایم که وقتی می‌خواهند متوسط نرخ رشد فروش یک کسب‌وکار را طی چند سال محاسبه و بیان کنند، از میانگین حسابی (Arithmetic Mean) استفاده کرده‌اند و این امر به صورت گسترده‌ای رواج یافته و مورد استفاده قرار می‌گیرد. اما لازم است بدانیم که میانگین حسابی برای همه انواع داده‌ها مناسب نیست و مقدار درستی را ارائه نمی‌دهد.

نکته اینجا است که وقتی داده‌هایی از جنس مرکب داریم، مانند نسبت و نرخ رشد، استفاده از میانگین حسابی خروجی دقیق و قابل قبولی به ما ارائه نمی‌دهد و بایستی از میانگین هندسی (Geometric Mean) استفاده کنیم. بسیاری از شاخص‌های CRM نیز از همین جنس هستند؛ نرخ ریزش مشتری (Customer Churn rate) نرخ رشد پایگاه مشتریان (Customer-base Growth Rate)، نرخ تبدیل شدن به مشتری (Conversion Rate) و شاخص‌های دیگری از این دست همین ویژگی را دارند.
اجازه بدهید با یک مثال ساده، هم نحوه محاسبه میانگین حسابی و هندسی را مرور کنیم و هم مشکل استفاده از میانگین حسابی را برای داده‌های از جنس نرخ رشد متوجه شویم.

فرض کنید نرخ رشد فروش یک بنگاه طی سه سال به ترتیب برابر 0.5 ، 0.3 و 0.1 بوده در سال پایه نیز مقدار فروش، برابر 1000 واحد بوده است. یعنی میزان فروش در هر سال، روند زیر را طی کرده است:
سال اول: 1500=1.5*1000
سال دوم: 1950= 1.3*1500
سال سوم: 2145=1.1*1950
میانگین حسابی، چنانچه همه می‌دانیم، از طریق تقسیم حاصل جمع همه داده‌ها بر تعداد داده‌ها محاسبه می‌شود. یعنی برای مثال بالا:
میانگین حسابی = 0.3 = ( 0.1 + 0.3 + 0.5 )
اگر بگوییم به طور متوسط هر ساله نرخ رشدی برابر 0.3 داشته‌ایم، یعنی مقدار فروش در سال سوم برابر 2197 خواهد بود و نه 2145، ملاحظه بفرمایید:
سال اول: 1300= 1.3*1000
سال دوم: 1690=1.3*1300
سال سوم: 2197=1.3*1690

اما برای محاسبه میانگین هندسی، اگر تعداد داده‌ها برابر n باشد، ابتدا همه داده‌ها را در هم ضرب می‌کنیم و سپس ریشه nام حاصلضرب را می‌گیریم. مقدار میانگین هندسی کوچکتر یا مساوی با مقدار میانگین حسابی است. نکته مهم دیگری که باید در نظر داشت این است که چون ممکن است نرخ رشد منفی باشد، پس ابتدا همه داده‌ها را با عدد 1 جمع می‌کنیم تا دیگر مقادیر منفی وجود نداشته باشد. پس از اینکه ریشه n ام را محاسبه کردیم، مقدار 1 را از آن کم می‌کنیم. برای مثال ساده خودمان داریم:
میانگین هندسی = 0.2897 = (1/3)^(1.1 * 1.3 * 1.5)
و با این میانگین، محاسبات ما درست‌تر خواهد بود:
سال اول: 7/1289= 1.2897 * 1000
سال دوم: 3/1663= 1.2897 * 1000
سال سوم: 2/2145= 1.2897 * 1000

در همین مثالی که مطرح شد، اگر نرخ رشد فروش در یکی از سال‌ها منفی باشد، نادقیق بودن میانگین حسابی بیشتر نمود پیدا می‌کند. فرض کنید نرخ رشد در سال دوم، برابر با 0.3- باشد. در این حالت میانگین حسابی مقدار 0.1 خواهد بود و میانگین هندسی برابر با 0.049 .
به طور کلی برای میانگین گرفتن از مقادیری که حالت نسبی و درصدی دارند مانند نرخ رشد و نرخ بازگشت سرمایه، نرخ تبدیل سرنخ به مشتری، نرخ ریزش درآمد و …، باید از میانگین هندسی استفاده کنیم. سعی ما در این گفتار بر این بود تا با یک نمونه ساده، تفاوت استفاده از این دو میانگین را نشان دهیم تا راهنمایی باشد که از هر یک از این دو میانگین در زمان و موقعیت مناسب استفاده شود.